Ranger ces QUADRIQUES !


Le plus bel exemple.

Pour aborder la structure d’un circuit, je vous présente la classification des coniques (cercles, paraboles …).
Sujet géométrique par excellence, au cours des siècles de grands mathématiciens l’ont enrichi.

L’étude des coniques concerne toutes les formes de courbe traçable sur un plan.
Dans l’espace ces lignes deviennent des surfaces courbes. Elles sont alors, appelées des Quadriques et sont référencés par une équation algébrique.


Quelques lignes.

Les coniques naissent par le croisement d’un plan de section et d’un cône mère.

Au niveau de son sommet, lorsque le cône est sectionné par un plan, on obtient des courbes dégénérées. Soit :
  -) un point.
  -) une droite.
  -) un angle rectiligne, c'est-à-dire 2 droites sécantes.


Les filles d'Apollonius.

Si le plan de section d’un cône évite son sommet, alors l’intersection est l'un des trois cas exposé par Apollonius (mathématicien de la Grèce antique).

Les trois courbes correspondantes sont :
  - a) des Ellipses dont le cercle (une ellipse régulière), pour les sections plus ou moins perpendiculaire à l’axe du cône.
  - b) des Hyperboles, pour les sections parallèles à deux génératrices du cône.
  - c) des Paraboles, pour les sections parallèles à une génératrice de cône.

Comme en littérature, d’équation x2=y, la parabole est une égalité.

La parabole est donc la mère des courbes planes. C’est pourquoi, je lui attribue, dans la triade (Z*, Y*, X*) d’une maille, la valeur finale, (100).

L’hyperbole, d’équation x2=±1+y2, est une addition (par rapport à la parabole).

L’hyperbole est une des filles, l’ainée ; je lui attribue donc, la valeur médiane, (010).

L’ellipse, d’équation x2=1-y2, est une soustraction.

L’ellipse est la dernière venue, c’est pourquoi je lui attribue la valeur (001).

Les trois enfants d’Apollonius sont donc, en maille ordonnée (Z*, Y*, X*) :
001) l’ellipse (-)
010) l’hyperbole (+)
100) la parabole (=).

En rhétorique :
L’ellipse ressemble à un résumé.
L’hyperbole à un récit présentant des hors – sujets.
Et la parabole à une copie édifiante.


En aparté d'Apollonius.

Apollonius utilise la section d’un cône pour exposer ses trois courbes.
Le chois judicieux de l’angle d’ouverture du cône, nous conduit à de belles courbes.

Si le rapport entre la longueur de l’axe du cône et de son rayon de base est égal à 1, nous obtenons des courbes à la beauté carrée.
Si le rapport entre une génératrice du cône et le diamètre du cercle, en perpendiculaire, est égal à 1, nous obtenons des courbes unitaires.
Si ce même rapport est pythagoricien, comme dans les triangles pythagoriciens, alors ceux sont des courbes harmonieuses.

Si vous prolongez les côtés opposés d’un hexagone inscrit dans une conique, ils se couperont sur une même droite en 3 foyers distincts (théorème de l’hexagone).

Conséquences : l’hexagone inscrit dans une parabole ou une hyperbole, voit le sommet, opposé au sommet de la courbe, inscrit à l’infini. Les hexagones inscrits dans une courbe ouverte, ont donc une surface infinie et définie. C’est à rapprocher des hexagones de Planck, au niveau de l’intrication des particules.


Les 7 familles coniques.

Les mathématiques modernes avec l’introduction des équations et des imaginaires, décèlent non pas 3 courbes mais 7 familles de coniques. Elles seront à rapprocher des 7 grandes frises du plan.
Les 7 Coniques sont :

Les paires de droites parallèles, les droites doubles confondues, les droites doubles sécantes, les paraboles, les hyperboles, les ellipses et les axes du plan.
En réalité les axes du plan correspondent à une paire de droites imaginaires et concourantes. Dans cette optique là, il faut alors rajouter l’ellipse imaginaire et la paire de droites imaginaires et parallèles. Soit au total 9 familles, dont 6 à 7 concrètes.


Les familles de Fermat et d'Euler.

Au-delà du plan, dans un volume, vous pouvez aussi découvrir des courbes. De planes, elles deviennent des surfaces courbes.

C’est ainsi que Fermat (1601-1665) distingue 7 surfaces courbes.
Le plan, la sphère, l’ellipsoïde, le conoïde parabolique, le conoïde hyperbolique, le cône, le cylindre à base parabolique ou hyperbolique.

Euler (1707-1783), plus tard, affine cette classification à l’aide de leurs équations.
Il peut, ainsi, séparer les cylindres paraboliques des cylindres hyperboliques.
En revanche il constate que la sphère est un ellipsoïde régulier.
De plus il décrit 2 nouvelles surfaces courbes. En effet, le conoïde hyperbolique est renommé hyperboloïde à 2 nappes pour le distinguer de la nouvelle hyperboloïde à 1 nappe. De même, il renomme le conoïde parabolique en paraboloïde elliptique pour le différencier du nouveau paraboloïde hyperboloïde.

Enfin, il abandonne le cône de Fermat pour obtenir les 9 surfaces courbes d’Euler.
La paire de plan parallèle, l’ellipsoïde, l’hyperboloïde à 1 nappe, l’hyperboloïde à 2 nappes, le paraboloïde hyperbolique, le cylindre elliptique, le cylindre hyperbolique et le paraboloïde cylindrique.


Pas de Mailles sans finesse !

Avec la famille de Fermat, 7 surfaces courbes se présentent. Mais c’est trop peu pour établir un circuit ; malgré la présence de couple d’opposé (ex : Plan et Sphère) pouvant s’intégrer en mailles de contraire (ex : 010 et 101).
Avec la famille d’Euler, la plus fine perception apportée par les équations, permet d’avoir plus de 8 courbes. Dans la perspective d’un circuit, cela oblige d’en regrouper deux pour une des mailles ; mais sur quel critère ?

Pour une classification réaliste, en un circuit, l’évolution de ces familles montre bien, le besoin d’affiner nôtre perception intellectuel.
Que disent donc, les mathématiques contemporaines ?


Les familles Modernes.

Quant aux mathématiciens modernes, eux trouvent 17 types de quadriques. Les quadriques sont les équations possibles des courbes en une, deux ou trois dimensions spatiales. Ces 17 quadriques seront à rapprocher des 17 pavages du plan.

Ces 17 équations sont le socle le plus moderne pour y déceler un circuit. D’autant plus que l’étude des mailles est une transcendance du quotidien, comme le sont, les mathématiques les plus évoluées.

La formule normée, simplifiée et générale des quadriques revient à :
            --- |X2a2| * |Y2b2| * |Z2c2| = |m| ---.
Ces 17 équations sont ainsi réduites à leur plus simple habit.

Ainsi, dans cette équation, nous devons déceler la triade (Z*, Y*, X*) des variables linéaires, pour déterminer chaque maille.

Le marqueur le plus important dans une équation est l’égalité. C’est pourquoi, les valeurs de la triade dépendent des changements dans les termes de chaque côté de l’égalité.

En premier en considère l’égalité de m et en particulier sa valeur normée (=1) ou pas (≠1) ; elle pose alors celle de Z*.
Soit m=±1, alors Z* =0 ;
Soit m±1 alors Z* =1 ; dans (Z*, Y*, X*).

En deuxième pour Y*, intéressons nous, soit aux termes opératoires, soit au terme du résultat, suivant les cas de Z*.

-) Dans le cas où m=1 ;
si les Opérandes ont la même polarité (soit des +, soit des -, pour les *) alors Y*=0 ;
sinon Y*=1.
    -) Dans le cadre où m≠±1 ; alors c’est le Résultat qui compte ;
si m≠0 alors Y*=0 ;
sinon Y*=1.

Quant à X*, on va se focaliser sur la partition des opérations.

En particulier, dans le cadre d’un résultat rétablit en valeur positive, on va extraire deux cas opposés.
L’un où les opérandes ont le plus de -, alors X*=0 ;
et l’autre où les opérandes ont le moins de -, alors X*=1.

Considérations établies, on peut dresser la table des quadriques en un circuit logique ; où les 17 équations s’y insèrent, en plus de 3 cas exotiques : O), O1) et O2).

Nous avons bien huit mailles. Certaines équations sont communes à deux, voire quatre mailles. Chaque maille comporte plusieurs quadriques, de la dimension la plus petite, au volume.

Nota : dans le tableau, l'équation à 1 variable x tel que : (x2/a2)=±m, représente un couple de plans parallèles (//) si m=0 ou confondus si m=±1. Lorsque m est différent de 0 ou ±1, c'est un cylindre parabolique.

L'équation m=e/c2, de la matière / à l'énergie, est sûrement en lien avec m=x2/a2 des couples de plan et cylindres paraboliques. D'autant plus que le champ électromagnétique d'une particule en déplacement, est le composé d'un couple de plan (de champs) mais orthogonaux.


Table des quadriques

les 8 quadriques (familles de)

Z* Y* X*
(/Fonctions). (/Propriétés). (/constructions).
égalité normée
(=1) ou pas (≠1)
qualité
des termes
qualité
des opérations

 
les
 
17 à
 
20 :

 
|x2  
  /a2|
 
*
 
|y2  
  /b2|
 
*
 
|z2  
  /c2|
 
=
 
|m|

 

accolade bleu Z*=0 :
m=±1
(si aucun terme,
équation 0 :
0=±1)
Les surfaces
"naturelles"
(dites
à centre) :
accolade verte et Y*=0 :
polarité
identique
des opérandes

I) Les surfaces
"régulières" :
accolade rouge et X*=0 : si (+m), alors le plus d'opérateurs (-). 000) les 3 Vides :
1) -(x2/a2)=1 [couple de plan // et imaginaires]
2) -(x2/a2)-(y2/b2)=1 [cylindres elliptiques imaginaires]
3) -(x2/a2)-(y2/b2)-(z2/c2)=1 [ellipsoïdes imaginaires].
et X*=1 : si (+m), alors le plus d'opérateurs (+). 001) les "ellipsidriques" :
4) +(x2/a2)=1 [Couple de plan //]
5) +(x2/a2)+(y2/b2)=1 [Cylindres elliptiques]
6) +(x2/a2)+(y2/b2)+(z2/c2)=1 [Ellipsoïdes].
et Y*=1 :
polarité
différente
des opérandes

II) Les surfaces
d'hyperbolles :
accolade rouge et X*=0 : si (+m), alors le plus d'opérateurs (-). 010) les "hyperbolidriques à 2 nappes" :
7) +(x2/a2)-(y2/b2)=±1 [Cylindres hyperboliques]
8) +(x2/a2)+(y2/b2)-(z2/c2)=(-1) [Hyperboloïdes à 2 nappes].
et X*=1 : si (+m), alors le plus d'opérateurs (+). 011) les "hyperbolidriques à 1 nappe" :
7') +(x2/a2)-(y2/b2)=±1 [Cylindres hyperboliques]
9) +(x2/a2)+(y2/b2)-(z2/c2)=1 [Hyperboloïdes à 1 nappe].
Z*=1 :
m≠±1
Les surfaces
"singulières" :
accolade verte et Y*=0 :
et m≠0
(si aucun
terme,
équation 01 :
0=±v et v≠0, v≠±1)
III) Les surfaces
de parabolles :
accolade rouge et X*=0 : si (+m), alors le plus d'opérateurs (-). 100) les "parabolidriques hyperboliques" :
10) +(x2/a2)=±y [Cylindres paraboliques]
11) +(x2/a2)-(y2/b2)=±z [Paraboloïdes hyperboliques]
et X*=1 : si (+m), alors le plus d'opérateurs (+). 101) les "parabolidriques elliptiques" :
10') +(x2/a2)=±y [Cylindres paraboliques]
12) +(x2/a2)+(y2/b2)=±z [Paraboloïdes elliptiques]
et Y*=1 :
m=0
(si aucun
terme,
équation 02 :
0=0)
IV) Les surfaces
à singularités :
accolade rouge et X*=0 : si (+m), alors le plus d'opérateurs (-). 110) les "cônidriques" :
13) (x2/a2)=0 [Couple de plan coïncidant]
14) +(x2/a2)-(y2/b2)=0 [Couple de plan sécant]
15) +(x2/a2)+(y2/b2)-(z2/c2)=0 [Cônes elliptiques].
et X*=1 : si (+m), alors le plus d'opérateurs (+). 111) les "pointdriques" :
13') (x2/a2)=0 [Couple de plan coïncidant]
16) +(x2/a2)+(y2/b2)=0 [Droites ; issues d'un couple de plan imaginaire et sécant]
17) +(x2/a2)+(y2/b2)+(z2/c2)=0 [Points ; issus de cône imaginaire].


En image :

  000) les 3 Vides :

  - 1) : Vide de plans parallèles ;               - 2) : Vide de cylindres elliptiques ;               - 3) : Vide d'ellipsoïdes.


  001) les "ellipsidriques" :

  - 4) COUPLES DE PLAN // : Couple de plan parallèle ;     - 5) CYLINDRES ELLIPTIQUES: Cylindre elliptique ;
    - 6) ELLIPSOÏDES // : Ellipsoïde.

  010) les "hyperbolidriques à 2 nappes" :

  - 7) CYLINDRES HYPERBOLIQUES : Cylindre hyperbolique ;

  - 8) HYPERBOLOÏDES À 2 NAPPES : Hyperboloïde à 2 nappes.

  011) les "hyperbolidriques à 1 nappe" :

  - 7') Cylindres hyperboliques : Cylindre hyperbolique ;

  - 9) HYPERBOLOÏDES À 1 NAPPE : Hyperboloïde à 1 nappe.

  100) les "parabolidriques hyperboliques" :

  - 10) CYLINDRES PARABOLIQUES : Cylindre parabolique ;

  - 11) PARABOLOÏDES HYPERBOLIQUES : Paraboloïde hyperbolique.

  101) les "parabolidriques elliptiques" :

  - 10') Cylindres paraboliques : Cylindre parabolique ;

  - 12) PARABOLOÏDES ELLIPTIQUES : Paraboloïde elliptique.

  110) les "cônidriques" :

  - 13) COUPLES DE PLAN COÏNCIDANT : Couple de plan coïncidant ;     - 14) COUPLES DE PLAN SÉCANT : Couple de plan sécant ;
    - 15) CÔNES ELLIPTIQUES : Cône elliptique.

  111) les "pointdriques" :

  - 13') Couples de plan coïncidant : Couple de plan coïncidant ; - 16) DROITES         : Droite ; - 17) POINTS         : Point.


Remarque

Ce circuit en image des quadriques, nous renseigne sur la nature des mailles. En effet, on constate une évolution dans le graphisme des équations.
Elle ne signifie pas une hiérarchie de supériorité ou infériorité mais, tout simplement, la position la plus harmonieuse par rapport aux caractéristiques de chaque maille dans un ensemble commun de fonctionnement, ou d'architecture, ou de nature..

Pour illustrer ma théorie des mailles, d'autre exemple tel que l’étude des pavages sont positionnés dans le livre du Fleuve.


Au final :

Evidemment, l’étude des quadriques peut être affinée par la topologie de Rienmann, avec les surfaces sans trou, ceux à 1 trou (les normés ?) et ceux à plusieurs trous ; ou, en étendant les équations à des dimensions plus grandes, voire imaginaires. De toute façon, les spécialistes, si ma vision est claire, doivent pouvoir retrouver un circuit complet ou réduit à une triade.

Cependant, dans le cas du circuit des quadriques, leur évolution graphique est surement la source de l’évolution cosmologique. Et en particulier, l'existence des PARTICULES de notre Univers, vue à travers le prisme du Cube de Planck, ouvre des paysages grandioses.

De Circum HUTI, le 18/10/2008, mdf le .